Massen-Rotation und Drehimpuls

(08/2007)


Zusammenfassung:

Die Titius-Bode-Regel (a = 0,4+0,3*2n) ist eine empirisch zufällig zutreffende Formel, die nur ganz ungefähr die Bahnpositionen der Planeten unseres Sonnensystems beschreibt. Das zeigt schon, dass für den Planeten Merkur die Gleichung nur aufgeht, wenn mit einem Trick n = -∞ gesetzt werden muß. Die Abweichungen der Formel von den Positionen der beiden äußeren Planeten sind zudem erheblich. Es stellt sich die Frage, ob das Sonnensystem nicht Muster für alle Rotationssysteme vom Makro- bis zum Nanobereich sein kann.

 

Vergleich von Rotationssystemen:

Weil der empirische Zusammenhang der Planetenpositionen nach Titius-Bode keine theoretische Grundlage hat, stellt sich die Frage, ob es eine bestimmte theoretische Systematik für die Positionen der Planeten gibt.

Rotat1

Abb. 1

Eigentlich müsste man annehmen, daß die Naturgesetze sich nicht ändern, nur weil die Massen oder Ladungen unterschiedlich groß sind. Für die Planetenbahnen um die Sonne müsste also das gleiche Bauprinzip gelten, wie für die Bahnen der Elektronen um die Protonen. Es hat sich aber gezeigt, daß die Umlaufbahnen von Elektronen, die alle die gleiche Masse haben, stets einen Abstand von einander haben, der durch die konstante Drehimpulsdifferenz

h = 1,0546*10-34 [Js]                    (Plancksches Wirkungsquantum)

gegeben ist. Für die Planeten kann man das nicht sagen, denn sie haben keineswegs die gleiche Größe und Masse, wie Elektronen auf unterschiedlichen Bahnen. Nimmt man für zwei umeinander rotierende Massen MZ (Zentralgestirn) und MP (Planet) an, daß sie beide Kugelform haben und sich auf Kreisbahnen bewegen, dann ist das Trägheitsmoment der Kugelmassen

               Θ  = ΘZ + ΘP = 2/5*(MZ*RZ2 + MP*RP2)                   [kgm2],

und das Trägheitsmoment des Rotationssystems insgesamt

                 J  = C + Θ = (MZ*rZ2 + MP*rP2) + Θ                       [kgm2]

Da    MZ*rZ  = MP*rP

wird          J  = MP*rP2*(1 + MP/MZ) + Θ

Wir stellen fest, daß die Massen MZ und MP, sowie das Trägheitsmoment Θ konstant sind. Das Trägheitsmoment J des Systems ist hier also nur abhängig vom Quadrat des Abstandes (Masse 2 vom Schwerpunkt des Systems) rP.

Der Drehimpuls des Systems ist dann

     L  = J * ω = J * (F/(MP*rP))0,5                             

         = J * ((G*MZ*MP/D2)/(MP*rP))0,5                    [Js]

    D  = rZ + rP = rP*(1 + MP/MZ)                              [m]

    L  = MP*rP2*(G*MZ/rZ3)0,5 + Θ   *(G*MZ/(rP3*(1+MP/MZ))0,5

        = MP *(G*MZ*rP)0,5 + Θ *(G*MZ /rP3)0,5/(1+MP/MZ)      [Js]

 

  Setzt man in dieser Formel die folgenden Werte ein

        MZ  ~ 2*1030   [kg]            und                  MP  ~ 6*1024   [kg],

wie sich das ungefähr bei dem System Sonne÷Erde verhält und rechnet man weiterhin mit

          rP  ~ 1,5*1011   [m]

        RZ  ~ 7*108      [m]                RP  ~ 6,3*106    [m]

          ω  ~ 2*10-7     [m]                  Θ  ~ 3,92*1047      [kgm2]

dann erhält man            

         L  ~ (1,35*1047 + 3,92*1047) * 2*10-7 ~ 1,05*1041       [Js]

Geht man weiter wie Bohr vor, d. h. den Drehimpuls für Bahnen der beiden Körper zu berechnen, die dem Muster rPn = n2*rP gehorchen, dann erkennt man (s. Abb. 2), daß der Einfluß von Θ geringer wird, je größer der Abstand zwischen den Körpern wird.

Rotat2

Abb. 2

 

Also sinkt zunächst der Drehimpuls von einem hohen, durch die Trägheitsmomente (ΘZ und ΘP) der Körper beeinflussten Wert, auf einen niedrigeren Wert, der zunehmend mit rP  durch das Trägheitsmoment J  des Systems bestimmt wird.

Rotat3

Abb. 3

Deshalb ist    ΔL = Ln+1 – Ln   bei geringer Entfernung der Körper von einander sehr groß. Die Originalposition des Planeten ist in den Abbildung 2 und 3 unter n = 1eingezeichnet. Je größer die Entfernung der Körper von einander wird, um so mehr nähert sich der Anstieg der Geraden dem Wert

               ΔL  = MP*(G*MZ)0,5*(rP20,5 – rP10,5).

Ähnlich verhält es sich auch mit dem System Proton÷Elektron im Wasserstoffatom.

Dazu folgender Vergleich:

RotatTab 1


Tab.. 1

Geht man (fast wie Bohr) davon aus, daß das System Proton÷Elektron (Wasserstoffatom) um einen gemeinsamen Schwerpunkt kreisförmig rotiert, dann ist die gegenseitige Anziehung der Körper

F = k0*e2/D2 = k0*e2/(rP + rE)2 = k0*e2/(rE2*(1+mE/mP)2)  [N]   (1)      

Das Trägheitsmoment des Systems ist

                 J  = mE*rE2*(1 + mE /mP) + Θ    [kgm2],

sein Drehimpuls

                 L  = J*ω    [Js].                    (2)                                                                 

Die auf die Körper wirkende Zentrifugalkraft ist

     zFE  = mE*4*π*rE / T2 = mE *rE 2                      (3)                                

             = mE *rE *L2/[mE*rE2*(1+mE/mP) + Θ]2    [N]

Vergleicht man die beiden Beträge im Nenner dieser Formel, dann fällt auf, daß selbst bei einem Radius von rE = 5,289*10-11 [m] das Verhältnis von mE*rE2*(1+mE/mP) / Θ ~ 2,6*106 ist.

Rotat4

Abb. 4

Das Trägheitsmoment Θ kann also in dieser Rechnung vernachlässigt werden. Gleichsetzung von Formel 1 und 3 und Berücksichtigung von Formel 2 ergibt dann

      rE  = L2/k0*e2*mE,                  L  = (rE*k0*e2*mE)0,5 ≡ h

Rotat5

Abb. 5

Das entspricht genau dem Bohrschen Postulat.

Berechnet man nun den Drehimpuls für die nächst höheren Bahnen n mit rn = r1*n2, dann erhält man für das System Proton÷Elektron

Mit         ∆r  = (rE2 - rE1 ) = rE1*n12 -  rE1*n22         

              ∆L  = (rE*k0*e2*mE)0,5 * Dn        (s. Abbildungen 6 und 7)

Wenn     ∆n  = 1           dann                ∆L   = h

Rotat6


Abb. 6

In Abbildung 5 wurde die Position des Elektrons auf der 1. Bahn mit dem Symbol „o“ bezeichnet. Das Symbol „∆“ bezeichnet in den Abbildungen 6 und 7 die Position des angeregten Elektrons auf dem Niveau der 3. Bahn. Interessant ist, daß selbst bei steigendem Niveau ∆L nicht konstant ist, wenn auch die absoluten Werte sich nur wenig unterscheiden. Es soll hier auch nur auf das Prinzip hingewiesen werden.

Rotat7


Abb. 7

Zitat [1]:

Es ist ein glücklicher Zufall, daß die Bohrsche Theorie zum richtigen Resultat für die Energieniveaus des Wasserstoffatoms führt. Es kommt ziemlich häufig vor, daß man ein richtiges Ergebnis mit einer falschen Begründung erhält.

Zitat Ende.

Wieso ist die Annahme der Elektronenrotation falsch? Wie kommt man darauf, das Elektron als stehende Welle zu beschreiben? Immerhin ist die Berechnung in Übereinstimmung mit der Ermittlung der Bahndaten von Himmelskörpern. Warum sollte sich das zwar wesentlich kleinere System grundsätzlich von Systemen unterscheiden, die sich überall im Weltraum befinden?

Berücksichtigt man zusätzlich, daß Proton und Elektron jeweils noch eine eigene Rotation (Spin) haben, dann ist ein Vergleich mit Systemen im All durchaus berechtigt.

 

Zitat [2]:

Dieses Ergebnis bedeutet, daß alle Wasserstoffatome in 10-11 [s] kollabieren würden, wenn man annimmt, daß das Elektron in der Bohrschen Bahn des Grundzustands seine Energie nach klassischer Vorstellung abstrahlt. Bohrs Ausweg aus diesem ernsthaften Problem bestand darin, zu postulieren, daß Elektronen im Grundzustand nicht strahlen können…

Zitat Ende.

Zu diesem Zitat die Frage, wieso die Atome kollabieren sollten? Dann müssten auch die Rotationssysteme (Grundzustand?) der Himmelskörper kollabieren. Die Systeme Sonne÷Merkur, oder Sonne÷Erde strahlen auch keine Energie ab, sondern befinden sich in einem stabilen Rotationszustand, soweit wir das in der uns in dieser Welt zur Verfügung stehenden Zeit feststellen können.

 

Für das System Sonne÷Merkur würde sich unter diesen Annahmen allerdings der Drehimpuls L erheblich ändern (Abbildung 8) und damit auch ∆L (Abbildung 9).

Rotat8

Abb. 8



Rotat9

Abb. 9

 

Ein ähnlicher Zusammenhang L = f(n) besteht für alle übrigen Planeten. Allerdings sind die Werte für die einzelnen Planeten sehr unterschiedlich wegen ihrer Masse und ihres Abstandes vom Zentralgestirn, was für die Elektronenbahnen des Wasserstoffatoms nicht zutrifft.

Am Beispiel des Planeten Jupiter kann erkannt werden, daß der

Rotat10

Abb. 10

Planet theoretisch durchaus andere Umlaufbahnen einnehmen kann.

Würde er auf der Erdbahn die Sonne umrunden, dann würde er ebenfalls eine Umlaufzeit von 1 Jahr haben, allerdings würde die Sonne erheblich mehr ausgelenkt werden, als das die Erde bewirkt.

Abbildung 10 zeigt diesen Zusammenhang. Die tatsächliche Position des Planeten Jupiter (Tsid = 11,86 [a]) wurde mit dem Symbol „o“ bezeichnet. Anders als das Elektron des Wasserstoffatoms könnte Jupiter jede x-beliebige Bahn ohne konstantes ∆L zwischen den einzelnen Bahnen haben. Das gilt auch für alle anderen Planeten, die sich insofern vom Verhalten des Elektrons grundsätzlich unterscheiden.

Rotat11


Abb. 11

 Abschätzungen [3] geben die Massendichte [MØ/pc3] in Galaxien oder Sternsystemen wieder. Diese Angaben sind jedoch ohne Wert wenn es um die Struktur der beobachteten Objekte geht. Das soll am Beispiel des Sonnensystems demonstriert werden. Trägt man die Massendichte nach dem Muster auf

               ρn  = Mn/Vn = ∑Mn /(4/3*π*Dn3)    [kg/m3]

wobei     Dn  = Abstand des Planeten n (Symbol „o“) mit der Masse Mn vom Zentralgestirn (Symbol „♢“) über dem Abstand Dn auf, erhält man die Abbildung 11, bzw. Abbildung 12, wenn ρ = f(ln D).

Rotat12


Abb. 12


            ∑Mn    = M0 + M1 + M2  ÷  + Mn          [kg]

Da die Gesamtmasse ∑Mn im wesentlichen von der Masse des Zentralgestirns bestimmt wird (∑Mo = 0,0015 * M◇), ist die in Abb. 12 (Symbol „✳“ steht für die Planetoiden) gestrichelt gezeichnete Gerade im Grunde abhängig von dem der Berechnung zugrunde liegenden Volumen Vn.

Hier:         ρ  ≈ 4,7*1029 / D3 [kg/m3]

Das heißt aber auch, daß über diese Berechnung nichts über die jeweilige Position des Planeten ausgesagt werden kann. Das kann aber auch auf die Situation in Galaxien und die dort angegebenen Massendichten übertragen werden.

Höchstwahrscheinlich ist die jeweilige Position eines Planeten, oder auch eines Gestirns, rein zufällig. Dabei spielt es auch keine Rolle, ob sich die Planeten aus gut verteilter Masse im betreffenden Raum gebildet haben, oder gar vom Zentralgestirn eingefangen wurden. Selbst die unterschiedliche Zusammensetzung und die Struktur der Planeten wird bestenfalls durch die im betreffenden Raum ehemals vorhandene Masse bestimmt, falls der Planet nicht eingefangen wurde.

Sollte jedoch das Muster, das in unserem Sonnensystem bestimmend ist, auch auf die übrigen im All vorhandenen Systeme zutreffen (was sehr wahrscheinlich ist), dann sollten alle Galaxien Zentren haben, die den Rest der Galaxie bei weitem an Masse übertreffen. Ob es sich bei diesen Zentren um sogenannte „schwarze Löcher“ handelt, hängt von dieser Masse ab, wobei diese Massen sicher in den seltensten Fällen Massen aus ihrer Umgebung „schlucken“, denn die Rotation der umlaufenden Gestirne wird um so größer, je näher sie dieser Masse kommen. Damit wird auch die auf sie wirkende Zentrifugalkraft größer. Nur in ganz jungen Systemen dürfte das Gleichgewicht zwischen den beteiligten Massen noch gestört sein. Sicherlich werden aber bei enormen Massen die von ihnen ausgehenden Signale (Licht, etc.) gestört, bzw. deren Aussendung völlig verhindert.

 


[1]   J. Orear, Physik, C. Hanser Verlag 1982/85, S. 582

[2]   J. Orear, Physik, C. Hanser Verlag 1982/85, S. 586

[3]   Zimmermann-Weigert; Lexikon d. Astronomie, 8. Aufl. 1999. S. 246 f.



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