Günter Dinglinger

Zusammenfassung:

Die Lorentz-Transformation will genau wie die früher entwickelte GalileÏ-Transformation Position (Koordinaten) und Bewegung von Objekten im Raum berechnen.

Beide Transformationen sehen einen Beobachter (Inertialsystem S) und ein sich davon relativ mit der Geschwindigkeit v entfernendes (oder auch näherndes) Inertialsystem S’ vor. Im zweiten System S’ bewege sich zusätzlich ein Objekt mit der Geschwindigkeit u.

Dabei geht GalileÏ davon aus, daß die Ereignisse auf dem System S’, bzw. dem dort befindlichen Objekt, zum exakt gleichen Zeitpunkt t geschehen, die Signalüberbrückungszeit τ recht einfach entsprechend der Lichtgeschwindigkeit und Entfernung des Objekts berücksichtigt werden kann. Allgemein gehen Lehrbücher auch davon aus, daß die Bewegungen (System oder Objekt) überwiegend in der x-Achse stattfinden. Das ist dann praktikabel, wenn das Objekt schon sehr weit vom Beobachter entfernt ist.

Diese Transformation ist besonders interessant für allgemeine Bewegungen unter irdischen und unmittelbar beobachtbaren Situationen, wie die Bewegung und Standortbestimmung von bewegten Objekten (Personen, Fahrzeugen, etc.) auf oder in ebenfalls bewegten Objekten (Zügen, Flugzeugen, etc.), sowie für die Berechnung von Umlaufbahnen von Himmelskörpern bzw. deren Standortbestimmung relativ zum Beobachter.

 

Galileï[i]  entwickelte eine „Transformation der Koordinaten beim Übergang von einem Inertialsystem in ein anderes naturgemäß ohne Berücksichtigung der Speziellen Relativitätstheorie.

Bezeichnet man dabei mit x bzw. x’ die Ortskoordinate (eines Objektes oder Ereignisses) in den beiden Systemen sowie mit t und t’ die Zeitkoordinate, so lautet die Galileï-Transformation, wenn das zweite System sich mit der Geschwindigkeit v bewegt:

                x’ = x - v * t                      und                    t’  = t

Die zweite Beziehung, t’ = t, drückt aus, daß die Zeitmessung (der Gang einer Uhr, die Bewegung eines Pendels) nicht von der Geschwindigkeit des Zeitmessers abhängt.

Hinweis:    Es ist vorausgesetzt, daß der Ursprung beider Bezugssysteme zum Zeitpunkt t = 0 am gleichen Ort liegt.

Hinweis:    Wir bezeichnen ein System S’ als bewegtes Bezugssystem, wenn es sich gegenüber dem System S des Beobachters in Bewegung befindet. Umgekehrt ist dann S ein bewegtes Bezugssystem mit der Geschwindigkeit  -v für einen Beobachter, der in S’ ruht.

           x’(t’) = x’(t) = x(t) - v*t .“

 

Abb. 1

 

In Abbildung 1 ist die geschilderte Situation angedeutet. Das Inertialsystem S’ entfernt sich mit der Geschwindigkeit v vom System des Beobachters nach der oben erwähnten Gleichung (hier:

x = x’ + v * t, mit x’ = 0 und v = 4), die für den Koordinatenursprung gilt.

Das gleichförmig bewegte Objekt soll sich im System S’ mit der Geschwindigkeit u (hier u = 1,5 und x’₀ = 2) bewegen, wobei der Richtungspfeil beider Geschwindigkeiten parallel sei. Das geschieht für das System S’ nach der Gleichung       x’ = x’₀ + u * t

Für den Beobachter in S stellt sich die Bewegung des Objektes nach der Gleichung

                    x  = x’₀ + (u + v) * t     dar.

 

Abb. 2

 

Zitat[ii]:

Gemäß der Galileï-Transformation ist die Bahnkurve in einem mit der Geschwindigkeit v bewegten System

           x’(t’) = x’(t) = x(t) - v * t

Ein gleichförmig bewegter Körper hat die Bahnkurve

              x(t) = x₀ + u * t

Zitat Ende.

Dieses Gleichungssystem bezieht sich aber auf die Situation, wie sie in Abbildung 2 dargestellt ist. Ich frage mich nun allen Ernstes, warum der Umweg über das System S? Was interessiert den Beobachter in S, wie sich die Situation für einen Beobachter in dem System S’ darstellt. Er sieht ja ohnehin, wie sich das Objekt in seinem System bewegt. Dann soll hier schon darauf hingewiesen werden, daß sich die Galileï-Transformation auf Objekte bezieht, deren Position vom Beobachter instantan gesehen werden.

 

Zitat[iii]:

Bei einer Galileï-Transformation ergibt sich die Geschwindigkeit u’ im bewegten System also durch Subtraktion der ursprünglichen Geschwindigkeit u des Körpers und der Relativgeschwindigkeit des bewegten Systems v:

        u’ = u - v            bzw.                u  = u’ + v

Zitat Ende.

Auch diese Beziehung gilt nur für die Situation von Abb. 2. Für den Ansatz nach Abb. 1 muß es heißen: Der Beobachter des ruhenden Systems sieht ein sich mit v entfernendes System, in dem sich ein Körper mit u in gleicher Richtung bewegt.

         u’  = u + v         bzw.               u  = u’ – v

 

Zitat[iv]):

Das Licht einer Lampe, die sich mit der Geschwindigkeit v = 0,9 * c bewegt, sollte sich in bezug auf einen Beobachter auf der Erde, wo die Lichtgeschwindigkeit c beträgt, gerade mit der Geschwindigkeit c bewegen. In bezug auf die Lampe bewegt es sich daher mit der Geschwindigkeit

                  v’  = c - v = 0,1*c

Dies führt zu der Frage, ob ein Beobachter, der sich schneller als die Lichtgeschwindigkeit bewegt, das von ihm ausgesandte Licht überholen kann.

Zitat Ende.

Bereits diese Problemstellung ist dem Charakter des Lichts in keiner Weise angemessen. Bereits die Transformation, wie sie in der Abbildung 1 dargestellt ist, kann wohl Probleme der normalen Umgebung berechnen und beschreiben (Fußgänger in fahrendem Zug); aber für schnell bewegte Objekte (Geschwindigkeiten in der Größe der Lichtgeschwindigkeit) kaum vorstell- und beobachtbar (bewegtes Objekt auf sich entfernendem Fixstern?). Völlig absurd wäre die Situation einer bewegten Lampe in einem bewegten System (z. B. auf der Sonne?).

Beobachtbar wäre allerdings das Licht, das von einem sich schnell bewegenden Objekt ausgesandt wird. Dabei muß berücksichtigt werden, daß nur die Lichtpulse beobachtbar sind, die auf dem kürzesten Wege vom absendenden Objekt zum Empfänger gelangen (Lichtreflexionen ändern daran nichts. Reflektoren wären allenfalls wieder Sender).

Die in Abbildung 2 geschilderte Situation sollte absolut ausgeschlossen werden. Sie kommt selbst in der klassischen Mechanik nicht vor. Für Licht (ein ruhender Scheinwerfer, der sein Licht in ein sich schnell bewegendes System schickt) bleibt sie ebenfalls undenkbar (wer beobachtet schon das von ihm ausgehende Licht?). Eine ruhende Lampe sendet zwar nach allen Richtungen Lichtpulse aus; aber auch hier nimmt der Beobachter nur die Pulse wahr, die ihm direkt entgegnen. Er kann zwar registrieren, daß Licht auch andere Gegenstände oder Empfänger trifft; aber er registriert diese Tatsache nur über die Reflexion, und vom Reflektor treffen ihn die Signale wiederum nur auf dem direkten Wege mit der entsprechenden Verzögerung. Wir können uns zwar theoretisch vorstellen, daß ein, von der Erde zu einem fernen, sich bewegenden Stern abgesandter Laserstrahl diesen erreicht. Wir können aber nicht den „Strahl“ mit dem Blick verfolgen, sondern nur bestenfalls die Reflexion registrieren. In diesem Fall wäre der Stern der Sender, von dem das Licht auf dem direkten Wege zur Erde zurück kommt.

Aus diesen Überlegungen folgt, daß die Galileï-Transformation nur für normale Objektbewegungen, nicht aber für die oben aufgezeigte Verknüpfung mit Lichtgeschwindigkeit geeignet ist.

 

Abb. 3

 

Realistischer ist die Situation von Abbildung 3. Hier handelt es sich um ein, sich schnell vom Beobachter entfernendes, System, in dem sich in gleicher Richtung ein leuchtendes Objekt bewegt. Man kann aber auch das Objekt direkt als System betrachten, was den beobachtbaren Tatsachen noch mehr entspricht, und die beiden Geschwindigkeiten v und u zu einer Geschwindigkeit w = v + u zusammenfassen. Man sieht deutlich, daß in dem aufgezeigten Fall (Flucht des Objekts vom Beobachter) die Richtungspfeile von w und c entgegen gerichtet sind. Setzt man in der Berechnung die Lichtgeschwindigkeit stets positiv ein, würde in der geschilderten Situation w negativ sein (bei Annäherung an den Beobachter dagegen ebenfalls positiv).

Wir erhalten unter diesen Umständen die bekannte Gleichung von Doppler

                 T  = t * (1 - (u + v)/c) = t * γ

bzw.        x’  = (x₀ - w * t) * γ  [v]

 

Zitat[vi]:

Die Maxwellschen Gleichungen haben nahezu die gleiche Gestalt wie die Gleichungen die z. B. die Ausbreitung von Schall in einem Gas beschreiben. Die Schallgeschwindigkeit gilt in letzterem Fall in dem Bezugssystem, in dem das Gas sich in Ruhe befindet. Ein sehr schnell bewegter Beobachter kann sich tatsächlich schneller als der von ihm erzeugte Schall bewegen und erzeugt dabei eine Schockwelle.

Zitat Ende.

Es ist sicherlich nicht richtig, eine Analogie der Lichtwellen mit Schallwellen herzustellen. Schallwellen sind Pulse in einem Medium. Im Vakuum ist eine Fortpflanzung des Schalls nicht möglich. Licht benötigt zumindest keinen „Äther“, um sich fortzupflanzen. Da man annimmt, daß die Lichtpulse durch Photonen weitergeleitet werden, die auch dort sich bewegen müßten, wo Licht nicht unmittelbar wahrgenommen wird, könnte man auch hypothetisch ein ubiquitäres, durch Massen kaum beeinflußbares Photonenfeld als Medium für die Lichtausbreitung annehmen, das sich selbst nicht durch Inertialsysteme in Bewegung setzen läßt. In diesem Feld ist jedes Objekt, selbstleuchtend oder reflektierend, einerlei welcher Relativgeschwindigkeit zu anderen Objekten, ein ruhendes System, das Lichtpulse in alle Richtungen mit der Geschwindigkeit c aussendet. Lichtpulse, die den Empfänger nicht direkt und auf dem kürzesten Wege treffen, werden dabei vom Empfänger nicht registriert. Insofern ist es abwegig, die Geschwindigkeit von, sich vom Empfänger entfernenden Lichtpulsen messen zu wollen. Deshalb darf die Galileï-Transformation nicht die Berechnungs- oder Vergleichsgrundlage für Lichtpulsgeschwindigkeiten sein. Das Licht hat stets die Koordinaten des von ihm ausgehenden leuchtenden Objekts.

Deshalb ist es auch unnötig, die Lorentz-Transformation durchzuführen, die zu einer Gleichung führt (s. S. 133[vii]: Relativistischer Faktor  γ = (1 - (v/c)²)^-0,5), die auch die Relativitätstheorie in eine falsche Richtung geführt hat.

Eingangs soll grundsätzlich hervorgehoben werden, daß

   •     die Voraussetzungen Einsteins zur Entwicklung der Relativitätstheorie hier nicht bezweifelt werden, wie:

      1.     Die Lichtgeschwindigkeit ist konstant und beträgt im Vakuum c ≈ 3*10⁸ [km/s]

      2.     Die Lichtgeschwindigkeit ist die höchstmögliche (Grenz-) Geschwindigkeit.

      3.     (Gleichförmig) bewegte Objekte im Raum können ihre absolute Geschwindigkeit nicht selbst feststellen. Es ist nur möglich, die relative Geschwindigkeit (Flucht oder Annäherung) zu anderen Objekten zu registrieren.

              Mit beschleunigt bewegten Objekten befasst sich erst die Allgemeine Relativitätstheorie.

              Die Messung der relativen Geschwindigkeiten schließt einen Vorbeiflug von Objekten aneinander aus, denn die relative Annäherung, bzw, Flucht schließt wechselnde Geschwindigkeiten (+ v > v =0  > - v) nicht mit ein.

              Es kann insgesamt allerdings nicht toleriert werden, daß die hier genannten Voraussetzungen im Laufe der Theorieentwicklung umgangen, ignoriert oder verändert werden.

              Der Punkt 3 schließt ein, daß es einerlei ist, ob das Objekt A ruht und das Objekt B sich bewegt, bzw. umgekehrt. Da aber Lorentz die Koordinaten eines beobachteten Objekts feststellen will, muss klar zwischem Beobachter und Beobachtetem unterschieden werden. Der Beobachter empfängt (passiv) Signale von dem beobachteten (aktiven) Objekt auf dem direkten Weg. Unter diesem Gesichtspunkt ist ein zweites Inertialsystem überflüssig. Die (Licht)-Signale werden vom Fontalsystem in Lichtgeschwindigkeit emittiert und treffen in Lichtgeshwindigkeit beim Beobchtersystem ein. Die Geschwindigkeit der Signale wird keinesfalls dadurch beeinflusst, daß der Beobachter willkürlich ein weiteres Inertialsystem vorsieht. Weil sich aber eines der Objekte auf das zweite Objekt zu, oder von ihm weg bewegt, werden die beim Beobachter eintreffenden Signale quasi eingesammelt oder verzögert aufgenommen:

                        c*t  = ct’ – v*t’

                        t/t’  = 1 – v/c            wobei c stets positiv, die Geschwindigkeit des beobachteten Objekts v dagegen positiv oder negativ einzusetzen ist, je nachdem, ob sich das Objekt dem Beobachter nähert oder sich von ihm entfernt. Die gleiche Formel erhält man übrigens auch nach Einsteins Betrachtung bezüglich einer Lichtuhr[viii]. Die oben aufgeführte Gleichung beschreibt auch den bekannten Doppler-Effekt.

                v = -c < v  < v = +c :       2  > t/t’  > 0

Das bedeutet: Entfernt sich das beobachtete emittierende Objekt mit Lichtgeschwindigkeit, dauert der Flug der Signale zum Beobachter doppelt so lang wie bei ruhenden Objekten. Ist das beobachtete Objekt dagegen auf Kollisionskurs, dann bemerkt der Beobachter gar nichts, denn Signale und Objekt treffen gleichzeitig auf den Beobachter (mit katastrophalem Ergebnis).

 

Zitat[ix]:

Die Umkehrung der Lorentz-Transformation erhält man, indem man das Vorzeichen der Geschwindigkeit vertauscht. Das System S bewegt sich nämlich gerade mit der Geschwindigkeit -v relativ zum System S’.

Zitat Ende.

In diesem Hinweis zeigt sich eigentlich ganz offen der verquere Denkansatz in bezug auf die Koordinatentransformation. Es wurde nämlich am Beginn angenommen, daß ein Beobachter das System S bildet, woraus er das System S’ beurteilt. Soll jetzt auf einmal das System S’ den Beobachter in S beurteilen, und wie geschieht das in der Praxis? Ist es nicht vielmehr so, daß bei Umkehrung der Verhältnisse angenommen werden muß, daß sich jetzt ein Beobachter in S’ befindet, der seinerseits das System S beurteilt? Das würde aber bezüglich der Lorentz-Transformation keine irgendwie geartete Veränderung der Gleichungen bedeuten. Viel gravierender ist es, ob sich beispielsweise ein leuchtendes Objekt dem Beobachter nähert oder sich von ihm entfernt, also wie die Relativgeschwindigkeit des Objekts zum Beobachter gerichtet  ist.

Entsprechend bedarf das Minkowski-Diagramm einer Korrektur.

 

Zitat[x]:

Die radikalste Veränderung in der Lorentz-Transformation gegenüber der Galileï-Transformation ist jedoch die Behauptung, daß die Zeitkoordinate nicht in beiden Systemen gleich sein kann. Dies ist eine direkte Folge der Konstanz der Lichtgeschwindigkeit und läßt sich nicht vermeiden.

Zwei Ereignisse, die in einem Bezugssystem zum gleichen Zeitpunkt an verschiedenen Orten stattfinden, erscheinen in einem anderen Bezugssystem nicht als gleichzeitig.

Zitat Ende.

Lorentz macht hier allerdings einen fundamentalen, durch nichts als eine Vermutung verursachten Fehler, indem er postuliert, daß im System S’ (Objekt) eine andere Zeit t’ angenommen werden muß. Dieser Fehler setzt sich wie ein roter Faden in seinen Berechnungen (bis zu vollkommen skurrilen Ergebnissen, wie Maßstabverkürzung) fort und wird von Einstein bei der Formulierung der Relativitätstheorie, einschließlich des Relativitätsfaktors γ, unkommentiert übernommen, obwohl in dessen Begründung durch das Beispiel einer Lichtuhr, die sich entfernende Uhr als synchron mit der ruhenden Uhr bestimmt wird!

 

 

Wie ich schon an anderer Stelle sagte, ist man bei den besprochenen Berechnungen nicht klar genug der Begriffstrennung für die Zeit gefolgt. Es muß unterschieden werden zwischen der gestoppten Zeit t (dem Alter des Systems ab willkürlich bestimmtem Nullpunkt) und der Zeitdifferenz Δt die sich durch die Distanz der Objekte, bzw. durch die Relativbewegung der Objekte Δt zu einander ergibt.

Während im Lehrbuch „Physik“ von Gerthsen[xi] die Lorentz-Transformation nur pauschal abgehandelt wird, befasst sich das Lehrbuch „Physik“ von Orear ausführlich[xii] mit ihrer Ableitung:

 

Die folgende Forderung ist kompletter Unfug:

Zitat[xiii]:

Wir wollen nun einen Satz von Transformationsgleichungen suchen, die sicherstellen, daß ein Objekt, das sich im ungestrichenen System (S₁) mit der Geschwindigkeit v = c fortbewegt, sich im gestrichenen System (S₂) ebenfalls mit v’ = c bewegt. Falls x = c*t ist, dann soll gelten x’ = c*t’

Zitat Ende.

•        Das Objekt ist nicht das (Licht)Signal von seiner bewegten Existenz.

•        Das Objekt bewegt sich (insbesondere bei sehr großen Entfernungen) überwiegend direkt vom Beobachter weg (-v) oder zum Beobachter hin (+v). Bei einem Vorbeiflug des Objekts wird man zunächst positive Geschwindigkeiten, nach der Passage (v = 0) aber negative Geschwindigkeiten beobachten.

•        Das Lichtsignal wird aber immer positiv (+c) einzusetzen sein, denn es gelangt vom Sender auf dem unmittelbaren direkten Weg zum Empfänger.

•        Die Lichtsignale sind keinesfalls ein Lichtstrahl. Folgt man Planck, dann ist Licht eine sehr schnelle Folge von Energiequanten. Diese Pulse werden, jeder für sich, in der Geschwindigkeit von c ≈ 3*10⁸ [m/s] radial ausgehend vom emittierenden Objekt in den Raum ausgestoßen. Im Raum (quasi Vakuum) ist diese Geschwindigkeit konstant. Kommt ein Beobachter dem emittierenden Objekt näher, ändern die Pulse selbstverständlich ihre Geschwindigkeit nicht, sondern der Beobachter sammelt schneller die Pulse ein (die Frequenz ändert sich). Weshalb sollte das Licht plötzlich seine Geschwindigkeit ändern, nur weil wir behaupten, als Beobachter ein neues Inertialsystem sein zu wollen?

         Man kann theoretisch individuelle Bewegungen auf einem sich entfernenden oder auch sich näherndem Objekt (System S’) durchaus berechnen, aber sinnvoll ist es besonders dann nicht, wenn das Objekt sehr weit entfernt ist.

         Maßstabsveränderungen an schnell bewegten Objekten anzunehmen ist albern. Die Signalpositionen am Bug und am Heck dieses Objektes haben identische Geschwindigkeit. Man kann auch umgekehrt formulieren: Der Beobachter nähert oder entfernt sich von diesen beiden Quellen. Das Licht der vorderen Quelle wird um die Länge des Maßstabes früher beim Beobachter sein als das Licht der Heckquelle. Die Lichtfrequenz beider Quellen wird wegen gleicher relativer Geschwindigkeit gleichermaßen verschoben.

Nicht nur Lorentz vermischt und tauscht laufend die Begriffe Objekt und Licht aus, auch Einstein schließt sich dieser Praxis an. Das ist von der Situation vor 100 Jahren zu sehen noch verständlich und verzeihlich. Warum aber die heutige Wissenschaft dieser These noch anhängt ist nur zu verstehen, weil man nicht zugeben möchte, sich ebenfalls geirrt zu haben. Die wunderschönen Phantastereien in den Medien sind eben spektakulärer als trockene Wissenschaft.

…

Auch hier  (s. Zitat oben) wieder der fundamentale Fehler, Objekten in beiden Systemen die konstante Lichtgeschwindigkeit zuzuordnen. Wie schon festgestellt, handelt es sich bei dem Problem um relativ zum Beobachter schnell bewegte (leuchtende) Objekte, deren Beobachtung nur mittels der zum Beobachter (mit Lichtgeschwindigkeit) gesandten Signale möglich ist. Die Strecke x (Entfernung des Objekts zum Zeitpunkt der Beobachtung vom Koordinatenursprung des Systems X) mit c*t gleichzusetzen ist sinnvoll, denn das vom Objekt zum Beobachter gelangende Licht bewegt sich tatsächlich mit der Geschwindigkeit c. Auch die Gleichung x‘ = c*t‘ ist sinnvoll, solange t‘ nicht mit t gleichgesetzt wird, und solange man im Kopf behält, daß x‘ die Entfernung des Objekts zum Koordinatenursprung des Systems X‘ ist, und das Licht zu diesem Beobachter gerade diese Entfernung in der Zeit t‘ zurücklegen muß.

 

Zitat[xiv]:

… (Der Koordinatenursprung beider System befinde sich zum Zeitpunkt t = t‘ = 0 am selben Ort.)…  … Betrachten wir zunächst eine ruhende Uhr bei x = 0. Die Zeit zwischen zwei Ticks sei t. Entsprechend  Gl. (8-5) sieht Herr X‘ eine bewegte Uhr, bei der die Zeit zwischen zwei Ticks γ*t  beträgt. Daher ergibt sich aus Gl. (8-8) mit x = 0, t = t und t‘ = γ*t: …

Zitat Ende.

Die Begriffsverwirrung in diesem Ansatz wird deutlich, wenn beispielsweise v < c, also das leuchtende Objekt sich nicht mit Lichtgeschwindigkeit bewegt. Zur Zeit t₀ soll x = 0 sein (beide Systeme, also auch das Objekt, gemeinsam beim Koordinatenursprung). Dann ist das Licht logischerweise instantan beim Beobachter, also t = t‘ = 0 (wie auch am Beginn des Zitats erwähnt).

Außerdem wäre es sinnvoll, das System X‘ als beobachtetes Objekt und das System X als Beobachter zu bezeichnen, dagegen zunächst irgendwelche Uhren nicht einzuführen.

Nach einer Zeitspanne Δt = t_n - t₀ hat sich das Objekt, bzw. das gestrichene System bis auf

                           x  = v * Δt        vom Beobachter entfernt. Von dieser Position benötigt das Signal zum Beobachter die Zeit    t‘ = x / c = v * Δt / c Währenddessen misst der Beobachter die gleiche Zeitspanne Δt. Der Zeitunterschied zwischen Signalabgabe des Objekts und Signalempfang beim Beobachter ist dann   Δt = Δt - v * Δt / c = Δt * (1 – v/c) = Δt * γ_D

Dabei soll der Index D für Doppler-Effekt stehen.

Es stellt sich die Frage, welche Entfernung ein bewegtes Objekt (nähernd oder fliehend) hat, wenn das Signal des Objekts bei dem Beobachter ankommt:

Das Signal verlasse das Objekt bei der Distanz x. Von dort benötigt der Lichtpuls die Zeit t = x/c. Während dieser Zeit hat sich aber das Objekt z. B. mit der Geschwindigkeit –v (negatives Zeichen, weil der Richtungspfeil dem der Lichtgeschwindigkeit entgegen steht) entfernt

                              Δx  = - t * v

Also ist zum Zeitpunkt der Signalankunft das Objekt bereits

                         x‘  = x + Δx = x*(1 – v/c)       entfernt. Flieht also das Objekt mit der Geschwindigkeit c, dann ist das Objekt zum Beobachtungszeitpunkt bereits doppelt so weit entfernt, wie die aktuelle Messung ergibt.

 

März 2010; Copyright: G. Dinglinger, 41565 Kaarst.

aktualisiert: Juli 2011

Zurück zur Übersicht