Kepler-Gleichungen, Präzisierung

(07/2007)   

Zusammenfassung:

Als Kepler vor etwa 350 Jahren seine berühmten drei Gesetze über die Planetenbewegungen aufstellte, standen ihm, nach unseren Begriffen, recht einfache Beobachtungsinstrumente zur Verfügung und Newton sollte erst noch geboren werden. Diese drei Gesetze genügten bis heute, um ausreichend das Himmelsgeschehen vorauszusagen, wobei kleinere Abweichungen heute von Großrechnern durchaus einkalkuliert und korrigiert werden können. Das erklärt aber nicht, warum die ganze Zeit niemand, insbesondere nachdem Newton Fragen der Gravitation geklärt hatte, einige Ungereimtheiten dieser Gesetze kritisch untersucht oder verbessert hat.

 

1.    Newton

Die Newtonschen Gravitationsgesetze besagen, dass ein System zweier Körper einen gemeinsamen Schwerpunkt hat, der auf der direkten Verbindungslinie zwischen den beiden gedachten Punktmassen liegt. Das gilt zum Beispiel auch für die Körper Erde und Mond, wobei der gemeinsame Schwerpunkt SP in diesem Fall wegen der wesentlich geringeren Masse des Trabanten innerhalb des Körpers der Erde liegt.

PräzKep:Abb.1


Abb. 1

 

Im Bereich unserer Erfahrungswelt handelt es sich bei Gestirnen im allgemeinen um gewaltige Massen eines Zentralgestirns und um Satelliten, deren einzelne Masse um 10er-Potenzen geringer ist, als die des Zentralgestirns. Deshalb ist es verständlich, dass die Existenz eines, nur geringfügig aus dem Zentrum des größeren Körpers verschobenen Schwerpunktes des Gesamtsystems, von Kepler gedanklich und rechnerisch unterdrückt wurde, zumal der dadurch entstehende Fehler zunächst gering ist.

Die genaue Betrachtung zeigt allerdings, dass die Rotation des Systems nicht nur darin besteht, dass der Satellit um den „Zentral“-körper rotiert, sondern dass beide Körper um den gemeinsamen Schwerpunkt rotieren. Für den größeren Körper ist der Rotationsradius zwar gering, aber nichtsdestoweniger vorhanden. Somit beschreibt nicht nur der Mond, sondern auch die Erde zwar keinen exakten Kreis, sondern eine elliptische Bahn um sein zentrales Gestirn.

Diese gleiche Überlegung gilt ebenso für die übrigen Planeten unseres Sonnensystems.

Die im dritten Gesetz von Kepler getroffene Vereinfachung

                T22 / T32  = a23 / a33,

gilt nur, wenn das Zentralgestirn wesentlich massereicher als seine Planeten ist, wobei die Indizes für die beiden Planeten M2 und M3 stehen, und a die entsprechenden Abstände von der Sonne bedeuten, und wenn es sich um kreisförmige Umlaufbahnen handelt.

PräzKep:Abb.2


Abb. 2

 

Das trifft im Fall unseres Sonnensystems weitgehend zu, verstellt aber leicht die Übersicht über die tatsächlichen Zusammenhänge, die im folgenden genauer erläutert werden sollen.

 

2.    Kepler

hat seine empirischen Gesetze aus Beobachtungen am System Sonne-Planeten entwickelt, also an elliptischen Planetenbahnen mit sehr geringen Exzentrizitäten, sowie an Systemen mit außerordentlich großen Unterschieden zwischen den beteiligten Massen. Aber bereits bei der Bahn des Planeten Pluto (ε = 0,248) treten erhebliche Differenzen zwischen Theorie und Wirklichkeit auf.

PräzKep:Abb.3

 Abb. 3 [1]

I. Gesetz von Kepler[2]: Die Behauptung, dass alle Planeten sich auf Ellipsenbahnen bewegen, in deren einem Brennpunkt die Sonne steht, ist also eine Annäherung, die nur damit zu rechtfertigen ist, dass die Sonnenmasse die Massen der einzelnen Planeten gewaltig übertrifft. Richtig ist, wie oben gesagt, dass allgemein zwei oder mehrere beteiligte Massen (Gestirne, Satelliten, etc.) um einen gemeinsamen Schwerpunkt rotieren, der seinerseits sich im Mittelpunkt einer Kreisbahn oder in einem Brennpunkt einer Ellipse befinden muß. Die Konsequenz aus diesem Zusammenhang ist eine notwendige Korrektur des

III. Gesetz(es) von Kepler: Die Quadrate der Umlaufzeiten T1 und T2 zweier Planeten verhalten sich wie die dritten Potenzen der großen Halbachsen a1 und a2.

     Korrekt ist dagegen, dass sich die Umlaufzeiten wie nachfolgend verhalten:

              T22 / T32   = D23 / D33 * (M1 + M2 + M3) / (M1+ M2)

             D33 / T32  = D23 / T22 * (M1 + M2 + M3) / (M1+ M2)

Man sieht hieran, dass das dritte Kepler-Gesetz streng genommen nur gilt, wenn (z.B. beim 3-Körperproblem)  der Faktor (M1+M2)/(M1+M2+M3) ≈ 1 wird, also wenn

M1 » (M2+M3). Auch darf streng genommen nicht das Verhältnis von dritter Potenz des Umlaufradius zur zweiten Potenz der Umlaufzeit (a3/T2) betrachtet, sondern statt a muß die Distanz D der entsprechenden Schwerpunkte eingesetzt werden.

II. Gesetz von Kepler:  Ein von der Sonne zu einem Planeten gezogener Leitstrahl überstreicht in gleichen Zeiten gleiche Flächen.

Die Postulierung, dass der Leitstrahl, also die Verbindungslinie zwischen einem Satelliten P und dem einen Brennpunkt F seiner Umlaufbahn um das Zentralgestirn ZG in gleichen Zeiträumen Δt = (t – t0) gleiche Ellipsenflächen S(t) überstreicht, beruht, wie schon gesagt, auf Beobachtungen an Umlaufbahnen mit sehr geringer Exzentrizität ε. Da alle Beobachtungen für die Richtigkeit dieser These sprechen, werden die daraus errechneten Ergebnisse im folgenden als Vergleich benutzt[3].

Wir erhalten aus dieser Überlegung also folgenden Zusammenhang[4]:

        Sn  = 0,5*aP*bP* (En – sin En)    

und         

         ΔS  = Sn+1 - Sn

Man erhält somit eine Beziehung, aus welcher der zugehörige Winkel E nicht implizit, sondern nur durch Iterationsrechnung (was allerdings mit Hochleistungsrechnern kein Problem mehr ist) zu bestimmen ist.

 

3.    Trägheitsmoment und Drehimpuls:

In der Abbildung 4 wurden die Ergebnisse dieser Operation für eine Ellipse mit der

PräzKep:Abb.4

Abb. 4

 

Exzentrizität von ε = 0,5 aufgezeichnet, wobei eine volle Umdrehung in n = 250 Schritte aufgeteilt wurde.

Das Trägheitsmoment des rotierenden Systems ist

         J  = MZG * rZG2 + MP * rP2 +ΘZG + ΘP                (nach Steiner)

             = rP2 * MP * (MP / MZG +1) + Θ

wobei Θ = ΘZG + ΘP = 0,4 * MZG * RZG2 + 0,4 * MP * RP2,

RZG  der Radius des Zentralgestirns und  RP  der Radius des Planeten sind. Wenn man setzt: MP * (MP / MZG +1) = ζ   ist das Trägheitsmoment eines Systems umeinander rotierender Körper  nur noch J’ = (JΘ)/ζ = f(rP2).

Den konstanten Drehimpuls L = J*ω kann man nun aus dem Produkt des mittleren Trägheitsmoments Jm = ∑ Jn/n mit der mittleren Winkelgeschwindigkeit ωm = 2*π/Tsid errechnen. Wie aus Abbildung 4 zu sehen ist, ändert sich pro Schritt (n) die Winkelgeschwindigkeit im Aphel wesentlich geringer als in anderen Positionen. Deshalb ist es empfehlenswert, den Drehimpuls L aus den Werten ωAp und JAp = a2 (1 + ε2)*ζ zu bestimmen.

PräzKep:Abb.5


Abb. 5

Die beschriebene Prozedur durchgerechnet für alle Ellipsen mit 0 < ε < 1 ergibt die Abhängigkeit, wie sie in Abbildung 5 dargestellt ist. Die dort aufgezeichnete Kurve folgt der Gesetzmässigkeit

    (JmΘ)/C = 1,5 *ε2 + 1

Weitere Lösungen (s. Abb. 3) mit Einsetzen der siderischen Umlaufzeit des Planeten:

      Em  = ArcCos [(1 – (1,5*ε2 + 1)0,5)/ε]

      aP3  = (G*MZG*Tsid2)/[(1+MP/MZG)2*4*π2*(1-ε*cos Em)3]

      aZG  = MP/MZG*aP

       rP2  = xP2 + yP2 = (xP - eP)2 + bP2 * sin2 E

             = aP2 * (cos Eε)2 + aP2 * (1 – ε2) * sin2 E

             = aP2 * (cos2 E – 2*ε*cos Eε2 + 1 – cos2 E

               ε2 + ε2 * cos2 E)

             = aP2 *(1 – 2 * ε*cos E + ε*cos2 E

             = aP2 *(1 - ε*cos E)2

        rP  = aP *(1 - ε*cos E)

      rPm  = aP*(1 – ε*cos Em)            

    rZGm  = aZG*(1 – ε*cos Em)

      Fm  = G*MZG*MP/Dm = G*MZG*MP/(rZGm + rPm)

         T  = MP*4*π2*rPm/Fm)0,5

      ωm  = 2*π/T

         L  = Jm*ωm                              

    oder:

       T2  = 4*π2*rZGm*(rZGm + rPm)2/(G*MZG)

             = 4*π2*aP*(aP + aP*MP/MZG)2 * (1 – ε*cos Em)3 / (G*MZG)

Damit:

      aP3  = T2*G*MZG / (4*π2*(1 + MP/MZG)2 * (1 – ε*cos Em)3)

Beispiel 1:

So lässt sich u. a. die grosse Halbachse aM = aP der elliptischen Bahn des Mondes um die Erde berechnen. Mit:

         T  = 2,3606*106 [s] ≣ 27,32 [d]

     MM  = MP = 7,35*1022 [kg]

      ME  = MZG = 5,9742*1024 [kg]

         ε  = 0,0549

ist   Em  = 1,61194 ≣ 92,36 [°]

     aM3  = 5,45377*1025                     

      aM  = 3,7923*108 [m]

    ΘE  = 9,721*1037 [kgm2]              

    ΘM  = 8,8807*1034 [kgm2]

       Jm  = 1,0846*1040 [kgm2]            

        ωm  = 2,6617*106 [1/s]

         L  = 2,8609*1034 [kgm2|s] ≣ [Js]

Jetzt spätestens stellt sich die Frage, warum der Bahnort des Satelliten durch den schwer messbaren Winkel E  dargestellt werden soll. Die Erfahrung zeigt, dass der interessierte Beobachter den Winkel ν (s. Abb. 3) wesentlich besser messen kann. Da im übrigen zwischen den beteiligten Objekten eine Gravitationsbeziehung besteht, sollte diese auch bei der Berechnung berücksichtigt werden, auch wenn im allgemeinen die Massen der beteiligten Objekte erhebliche Differenzen haben, welche die Masse des einen Objektes nahezu zu vernachlässigen erlauben.

Beispiel 2:

Das Rotationssystem Erde÷Mond (s. a. Beispiel 1)

Der Drehwinkel der Rotation um den Systemschwerpunkt ist

          cos ν = (cos E – ε) / (1 –  ε* cos E)

z.B. cos νm  = (cos Emε) / (1 – ε* cos Em) = - 0,09581

              νm  = 1,6668 ≣ 95,5 [°]

               rE  = aE * (1 – ε2) / (1 + ε*cos ν)  [m]

              rM  = aM * (1 – ε2) / (1 + ε*cos ν)  [m]

Die Apsiden (Apogäum und Perigäum) sind

     DAp  = (aE + aM) * (1 + ε) = 4,050*108  [m]

     DPe  = (aE + aM) * (1 - ε) = 3,628*108  [m]

PräzKep:Abb.6

Abb. 6

 

Ist ε = 0, dann sind die Umlaufbahnen jeweils Kreise mit a = b = r.

 

Beispiel 3:

Sonne und Merkur (alle Werte im kg/m/s-System):

      Tsid  = 7,6006*106 [s]                          (kursiv: [5])

      MS  = 1,989*1030  [kg]               

     MM  = 3,3*1023  [kg]

       RS  = 6,96*108  [m]                     

      RM  = 2,438*106  [m]

         ε  = 0,2056                               

      aM  = 5,7910*1010  [m]

      aM  = 5,6157*1010  [m]

      aS  = MM/MS * aM  [m]

      ΘS  = 3,8540*1047                       

       ΘM  = 7,8459*1035

        C  = 1,0407*1045                                 

       Jm  = 3,86508*1047

       νm  = 1,7232 ≣ 98,73  [°]                 

      Fm  = 1,30597*1022                    

     rMm  = 5,7910*1010

      ωm  = 8,2667*10-7                         

        L  = Jm * ωm = 3,19574*1041

Es muß beachtet werden, dass der aus den bekannten Angaben errechnete Wert der grossen Halbachse der Merkur-Umlaufbahn von dem in der Literatur angegebenen Wert abweicht (s. Fettdruck). Allerdings stimmt rMm mit dem Literaturwert von aM überein.

Mit den errechneten Werten kann nun die Umlaufbahn des Merkur in Abhängigkeit vom Winkel ν sehr viel einfacher berechnet werden, als das über den Keplerschen Flächensatz möglich ist.

 

4.    Kreiseltheorie:

Wenn man akzeptiert, dass die Planeten nicht um das auf einen bestimmten Ort (einer der Brennpunkte der Umlaufellipse) fixierte Zentralgestirn rotieren, sondern dass die Gestirne ein Gleichgewichtssystem bilden, das um einen gemeinsamen Schwerpunkt gleichermaßen, ähnlich einer Hantel, rotieren, dann muss auf dieses jeweilige System auch die Kreiseltheorie zutreffen. Das ist für die Erde als momentfreier Kreisel bereits berechnet worden. Die Situation ist in der folgenden Abbildung 7 skizziert. [6]

PräzKep:Abb.7


Abb. 7

 

Das Massenträgheitsmoment Θω und die Drehachse (ω) bilden den Winkel

                α  = φ – ψ

Jeder Punkt im Abstand a von der Drehachse läuft mit der Winkelgeschwindigkeit ω, also der Bahngeschwindigkeit

                  v  = ω * α                             um diese Achse. Der Endpunkt des von O angetragenen raumfesten Vektors  Θ läuft mit

         dL/dt = ω L* sin α

um die Drehachse. Der entsprechende Weg ist 2*π*L*sin ψ  und wird in der Zeit      

T = 2 * π * sin ψ / ( ω * sin α

zurückgelegt.

Mit      tan α = tan (φ –ψ) = (tan φ – tan ψ) / (1 + tan φ * tan ψ)

           tan φ  = ω / ω||

      tan ψ = a / L|| = L* sin a / L|| = L / L|| = J * ω / (J|| * ω||)

      tan α = (ω/ω|| J^ * ω/(J|| * ω||))/(1 + ω/ω||* J * ω/(J|| * ω||))

              = ω * (J|| / J) / (ω|| * (J|| + J * ω2 / ω||2))

und der Tatsache, dass bei kleinen Winkeln  φ und α der tan ≈ sin ≈ Winkel  ist, und dass dann auch ω « ω   sowie    L ≈ ω|| * J||    und dementsprechend

     T  = 2 * π * sin ψ / (ω* sin α)

         = 2*π * J*ω*ω||*(J|| + J*ω2/ω||2) / (ω * J|| *ω|| *ω*(J|| - J))

         = (2 * π J/ ω) * (J|| + J * ω2 / ω||2) / (J|| * (J|| - J))

         = (2 * πJ/ ω) * (1 - J/ J|| * (ω2 / w||2)) / (J|| - J)

Da aber wegen ω « ω|| :      J/ J|| * (ω2 / ω||2) ≈ 0            ist, wird

     T  = 2 * π J / (ω * (J|| - J)).

Mit      J||  ~ b2             und              J  ~ a * b

z. Vergleich die Berechnung für die Erde [7]:

                Θzz  = 2 / 5 * M * b2 = 7,95414*1037

                Θyy  = 2 / 5 * M * a * b = 7,92751*1037

und da 2 * π / ω = 1 [Tag]

sowie der, in der Literatur angegebenen Berechnungsmethode ergibt sich:

         T  = 2*π * a /(ω*(– a)2) = 1 / 0,003358873 = 297,72 [d] ≈ 300 [d] [8]

Nun ist aber die Chandler-Periode mit 430 Tagen gemessen worden. Korrigiert man den Wert von Θyy mit dem Faktor x = 1,001030958 auf

      Θyy  = 7,93568*1037,    erhält man

         κ  = (ΘzzΘyy) / Θyy

         T  = 2 * π / ω  * 1 / κ = 1 / 0,002325581 ≣ 430 [d]

Ein Fehler von 0,1 % bei der Bestimmung der Massenträgheitsmomente wirkt sich also ganz erheblich auf die Berechnung der Nutation aus. Dabei ist die Bestimmung der Massenträgheitsmomente ohnehin problematisch, denn die Dichte von Himmelskörpern ist kaum exakt messbar und sowieso abhängig von der Entfernung zu ihrem Kern, wobei auch die Abmessungen der Körper (z. B. Abplattung, unterschiedliche Entfernung der Pole vom Massenmittelpunkt, etc.) nur ungenau bestimmt werden können.

Umgekehrt formuliert: Das Gleichgewicht des Kreisels ist ausserordentlich empfindlich, da schon geringste Abweichungen zu erheblichen Differenzen der Präzessionsperiode führen würden. [In diesem Zusammenhang stellt sich die Frage, welchen Einfluss die, durch exzessiven Verbrauch fossiler Ressourcen verursachte Klimaveränderung und das damit verbundene Abschmelzen der Polkappeninsbesondere in der Antarktis – , auf die Drehung der Erdachse und damit auf eine möglicherweise beschleunigte Klimaveränderung hat. Würde beispielsweise auf beiden Polkappen Eis in der Dicke von x ≈ 100 m abschmelzen und daraufhin der Wasserspiegel am Äquatorwulst um ca. y ≈ 50 m erhöht werden, dann würde sich die Chandler-Periode rechnerisch auf ca. 426 Tage verkürzen. Würde etwa die Hälfte (x ≈ 1000 m) des Polkappeneises abschmelzen, würde sich der oben angegebene Rechenwert auf etwa 390 Tage (y ≈ 500 m) einstellen.]

 

5.    Saros-Zyklus [9]

Dieser Zyklus lässt sich ebenfalls aus der Kreiseltheorie berechnen.

Wenn     ΘEzz  = 7,95414*1037         

               ΘEyy  = 7,93568*1037

und        ΘMzz  = 8,88069*1034        

                   ΘMyy  = ΘMzz

dann     ΘEMzz  = ΘEzz + ME*rSPE2 + ΘMzz +

                     MM*rSPM2   = 1,201483*1040

            ΘEMyy  = ΘEyy + ME*rSPE2 + ΘMyy +

                    MM*rSPM2 = 1,201464*1040

                   κ = ΘEmzz / ΘEmyy – 1 = 

                          0,0004041567

                   T  = 0,07476267 / κ ≈ 18,5 [a]

Wie bei der Berechnung der Nutation (Chandler-Periode), ist auch bei dem Kreiselsystem Erde÷Mond das Gleichgewicht ausserordentlich empfindlich. Die Berechnung der Massenträgheitsmomente ist in der oben gezeigten Genauigkeit gar nicht möglich, aber schon kleinste Abweichungen von den angegebenen Werten führen zu erheblichen Differenzen der Periodendauer T.

Es bietet sich also an, die Massenträgheitsmomente, bzw. zumindest das Verhältnis Θzzyy  beider Massenträgheitsmomente der Gestirne aus den beobachteten Präzessionsperioden zu bestimmen, wie das hier durch geringe Korrekturen geschehen ist.

 

6.    Präzession der Erdachse

Mit den Werten der Massenträgheitsmomente von oben ergibt sich für den Kreisel Sonne÷Erde:

        ΘSzz  = ΘSyy = 3,855951*1047                        (Sonne)

      ΘEMzz  = ΘEzz + ΘMzz = 1,201483*1040             (Erde÷Mond)

     ΘEMyy  = ΘEyy + ΘMyy = 1,196646*1040            (Erde÷Mond)

      ΘSEzz  = ΘSzz + MS * rSPS2 + ΘEMzz + MEM 

                  * rSPEM2 = 5,255819*1047

      ΘSEyy  = ΘSyy + MS * rSPS2 + ΘEMyy + MEM

                  * rSPEM2 = 5,255615*1047

            κ = ΘSEzz / ΘSEyy – 1 =

                   0,00003875969

            T  = 1 / κ = 25.800 Jahre

Für die Präzession gilt das gleiche, wie für die Nutation, bzw. den Saros-Zyklus. Schon geringste Abweichungen von den angegebenen Werten der Massenträgheitsmomente beeinflussen das Ergebnis für T  erheblich.

 

7.    Merkurbahn

Mit ganz ähnlicher Rechnung lässt sich auch die Perihelbewegung des Merkur beschreiben.

               ΘSzz  = ΘSyy = 3,855951*1047                 (Sonne)

              ΘMzz  = 2 / 5 * MM * RM2 = 3,534917*1028 = QMyy    (Merkur)

             ΘSMzz  = ΘSzz + MS * rSPS2 + ΘMzz + MM * rSPM2 = 3,872412*1047

            ΘSMyy  = ΘSyy + MS * rSPS2 + ΘMyy + MM * rSPM2 = 3,872412*1047

Wird der letztere Wert geringfügig korrigiert, was aufgrund der ohnehin schwierig zu ermittelnden Massenträgheitsmomente sicherlich toleriert werden kann, ergibt sich:

            ΘSMyy  = 3,8724115*1047

                   κΘSMzz / ΘSMyy  - 1 = 7,990781*10-8

                   T  = 0,2408 * 1/κ = 3.014.000 Jahre ≣ 43“/Jahrhundert

was dem beobachteten Wert entspricht. [10]

 

 

 


[1]           Dazu auch Gerthsen, Physik, Springer-Verl., 20. Aufl. 1999, S. 52

[2]           H. Stöcker, Taschenb. d. Physik, Verl. H. Deutsch, 2. Aufl. 1994, S. 85 ff.

[3]           Montenbruck/Pfleger, Astronomie m. d. Personal Computer, Springer Verl., S. 56

[4]           s. a. Anhang

[5]           H. Zimmermann/A. Weigert, Lex. D. Astronomie, 8. Aufl. 1999, Spektrum Verl., S. 226 ff u.

366 ff.

[6]           Geerthsen Physik; H. Vogel; 18. Bis 20. Auflage, S. 88 ff.

[7]           hier wurde unterschiedliche Dichte des Erdinnern mit berücksichtigt !

[8]           Gerthsen Physik, H. Vogel, Springer Verl., 20. Aufl. 1999, S. 1032

[9]           Gerthsen Physik, H. Vogel, Springer Verl., 20. Aufl. 1999, S. 1033

[10]          A. Einstein, Ober die spez. u. allgem. Relativitätstheorie; Vieweg, 23. Aufl., S. 84




 

      


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