Ellipsen-Berechnung

Zusammenfassung:

Kepler hat seine drei (empirischen) Gesetze über die Bewegung von Satelliten um ihr Zentralgestirn aus ihm zugänglichen Beobachtungen abgeleitet. Spätestens nach Veröffentlichung der Newtonschen Theorien hätten Astronomen oder Physiker die Gesetze Keplers exakter formulieren können. Nur die Tatsache, dass i. a. die Zentralgestirne wesentlich massereicher als ihre Satelliten sind und in  diesen Fällen die Keplersche Näherungsberechnung ausreichend genau ist, hat zur Genügsamkeit der betroffenen Wissenschaft verführt.

In der Folge wird eine genauere Berechnung der Massenbewegung auf elliptischen Umlaufbahnen vorgestellt.

 Abb. 1

 

Wird ein Kreiszylinder von einer Ebene (nicht parallel zur Zylinderachse) geschnitten (s. Abb. 1), dann entsteht als Schnittlinie ein Kreis oder eine Ellipse

In der vorstehenden Abbildung sind bei drei verschiedenen Schnittwinkeln α (0, 30 und 60 [°]) ein Kreis und zwei Ellipsen entstanden, deren eine (die kleinere) Halbachse (b) konstant geblieben ist, während die zweite Halbachse (a) gleich oder größer als b ist. Leicht ist zu erkennen, dass bei einem Schnittwinkel von 90 [°] die größere Halbachse a = ∞ wird. Es bilden sich so quasi zwei Parallelen im Abstand von 2b.

Somit ist

       sin α  = y / a          cos α  = b / a                y  = e

mit        b = (a2e2) 0,5 = a * (1 – ε2)0,5

wird   b/a  = cos α = (1 – ε2)0,5 oder    ε  = (1 – cos2α)0,5 = sin α

Wie ich an anderer Stelle[i] ausgeführt habe, kann man bei der Berechnung von elliptischen Umlaufbahnen davon ausgehen, dass zwei Massen stets um ihren gemeinsamen Systemschwerpunkt rotieren, der immer einer der Brennpunkte der ähnlichen Umlauf-Ellipsen ist. In Abbildung 2 soll es sich um zwei gleich große Massen handeln, die demzufolge zwei gleiche Umlaufellipsen um einen gemeinsamen Brennpunkt beschreiben,

 

Abb. 2

 

Es ist aber auch erkennbar, dass der extreme Fall, d. h. die beiden Zylinder berühren sich nur noch (a = ∞) bzw. ε = 1, physikalisch nicht auftreten kann, es sei denn, die Körper rotieren in anderer Weise um einander (s. Abb. 3). Hier sind drei Positionen angedeutet:

1.      Der Zylinder wird senkrecht zu seiner Symmetrieachse geschnitten. Dann rotieren zwei gleiche Massen um den Mittelpunkt eines Kreises.

 

 

Abb. 3

2.      Der Schnittwinkel durch zwei gleiche Zylinder (Z1 und Z2) beträgt 45 [°] sin α = 0,7071 = e.

3.      Der Schnittwinkel durch zwei gleiche Zylinder (Z1 und Z3) beträgt 64,2 [°] sin α = 0,9 = ε.

Wie schon gesagt, geht bei α = 90 [°] die größere Halbchse  a = ∞ und die Zylinder berühren sich an der Mantelfläche, wobei der gemeinsame Brennpunkt F1 direkt (bzw. nahezu) auf der Berührungslinie der beiden Zylinder läge. Diese Situation wird nicht vorkommen, genauso wie die Situation α = 90 [°], denn die Massen würden theoretisch im Perihel zusammenstoßen, bzw. überhaupt nicht um einander rotieren.

Abb.4

Will man die Berechnung der elliptischen Umlaufbahnen zweier Massen nach der klassischen Methode vornehmen, ist man ohne elektronische Rechenmaschine mit sehr mühsamer Rechenarbeit konfrontiert.

Nach dem Flächensatz (Keplerüberstreicht die Verbindungslinie Brennpunkt (F) – Masse (P) in gleichen Zeiten gleiche Flächen (S) (siehe Abb. 4)

Danach erhält man folgenden Zusammenhang[ii]

             S =a*b*( E – ε*sin E) / 2

Diese Gleichung läßt sich nur durch schrittweisen Vergleich von 2*S/(a*b) = (Eε*sin E) lösen. Dabei wählt man die Schritte n entsprechend klein

             S = a*b*π                  ΔS  = S/n                

               Δt  = TVKr/n

Die Umlaufzeit TVKr errechnet sich aus

         TVKr  = M2*4*π2*rVKr / FVKr

        FVKr  = G*M1*M2 / DVKr2

        DVKr  = r1VKr + r2VKr = r2VKr*M2/M1 + r2VKr 

                = r2VKr*(M2/M1+1)

Die Masse M2 rotiert in diesem Fall auf einer zweiten elliptischen Bahn, die ihren Brennpunkt ebenfalls im Brennpunkt F hat und die die gleiche numerische Exzentrizität ε wie die erste Ellipse hat. Dabei steht der Index VKr für den Wert eines vergleichbaren Kreises mit dem Radius r2VKr, wobei TVKr die für die Masse M2 gleichwertige Umlaufzeit (Richtstrahl: F÷P) sein soll. Dann ist die Winkelgeschwindigkeit

        ωVKr  = 2*π/TVKr                  und der Drehimpuls das Produkt aus Trägheitsmoment und Winkelgeschwindigkeit

            L  = JVKr*ω VKr.

Bei der Berechnung einer Ellipse kann man also annehmen, dass zwei Massen M1 und M2 um einen gemeinsamen Brennpunkt Fe als Schwerpunkt des Rotationssystems rotieren, wobei die mittleren Entfernungen rVKr der Massen vom Schwerpunkt sich umgekehrt zum Verhältnis der Massen verhalten

        r1VKr  = r2VKr * M2/M1  [m] = a2 * (1,5*ε2+1)3

         JVKr  = M1*r1VKr2 + M2*r2VKr2 = (M1*a12 +  

                    M2*a22) * (1,5*ε2+1)

                = C * (1,5*ε2+1)  [kg m2]

Für die Praxis ist zunächst nur TVKr interessant, weil sich daraus die Halbachsen a und b eines Systems zweier rotierender Massen errechnen lassen, wie z. B. Merkur÷Sonne:

         aM3  = G*MS*Tsid2 / ((MM/MS+1)2*4*π2*(1,5*ε2+1)1,5)

Setzt man die beobachteten Daten (z. B. die siderische Umlaufzeit des Planeten Merkur mit Tsid = 7,6006*106 [s] 87 [d] 23 [h] 16 ['] 48["]) ein, erhält man

           aM  = 5,6157*1010  [m]

Berechnet man nun Ellipsen nach der ersten (mühsamen) Methode, erhält man mittlere Trägheitsmomente VKr, die nur noch vom Trägheitsmoment des Kreises C (a1 = a2) und den entsprechenden numerischen Exzentrizitäten ε abhängen (siehe Abb. 5).

Abb. 5

In Abbildung 5 bedeutet K = (1,5*ε2+ 1)0,5 und die dort aufgeführten Kurven von unten nach oben:

K-1,5K0,5KK1,5K2

         TVKr  = A*K1,5                     mit           

             A  =2*π*(M2/M1+1)*(a23/(G*M1))0,5

        ω VKr  = B*K-1,5      mit      B  = 2*π / A

         VKr  = C*K2           mit      C  = M1*a12 + M2*a22

            L  = D*K0,5        mit      D  = C*B

Da ein Rotationssystem von Sternen keinerlei äußeren Einflüssen, d. h. Energiezu- oder abfuhr) ausgesetzt ist, kann davon ausgegangen werden, dass das Drehmoment L des Systems konstant bleibt. Also gilt

        r2VKr  = a2 * (1,5*ε2 + 1)0,5 = a2 * K

womit TVKr, wVKr und letztlich L für alle möglichen Rotationssysteme nach den obigen Beziehungen schnell errechnet werden können.

Nun muß allerdings darauf geachtet werden, dass sich in einer Ellipse mit gegebenen ε sowohl ω  als auch Jr   laufend mit  ändern. Der Drehimpuls L bleibt dagegen konstant.

             J  = r12*M1 + r22*M2 = r22*M2*(M2/M1+1) 

                = r22* ζ

Die Berechnung nach dem 2. Gesetz von Kepler zeigt, dass ∑Jn / n = JVKr , also mit dem Trägheitsmoment des Vergleichskreises übereinstimmt, für die Berechnung des Drehimpulses L ist es aber vorteilhafter, das Trägheitsmoment im Aphel (JAp) zu berechnen, weil dort die Winkelgeschwindigkeit (ωAp) ein Minimum hat, bzw. sich von Schritt n zu Schritt (+1) nur sehr wenig ändert.

         r2Ap  = a2 + e2 = a2*(1 + ε) = b2*(1 + ε)/(1-ε2)0,5

          JAp  = b22*(1 + ε)2/( 1-ε2)*ζ = b22* ζ * ue

Abb. 6

In Abb. 6 wurden die Werte J, ω und L für eine Ellipse mit der Exzentrizität ε = 0,2 über dem Quadrat des jeweiligen Leitstrahls r aufgetragen. Da J = f(r2),  bildet sich die Funktion als Gerade ab.

In  Abb. 7 sind die gleichen Werte über dem reziproken Quadrat des Leitstrahls aufgetragen. Hier wird ω = f(1/r2) und L = const  abgebildet. L = f(1/r2* r2) bleibt selbstverständlich in beiden Abbildungen konstant.

 

Abb. 7

Ganz ähnlich verhalten sich diese Werte für andere numerische Exzentrizitäten.

Ist, wie im Fall von ε = 0,2 der Wert für L und ω = f(1/r2) bekannt, können zu jedem Winkel n die Positionen des umlaufenden Satelliten unkompliziert berechnet werden

      ε  = 0,2                     L  = 0,8818               

       ζ  = M2*(M2/M1 + 1)

     ω  = L/J = L/(r2*ζ)     r2Ap2  = a + ε = a2*(1 + ε)


Zur praktischen Berechnung

wurde ein Rotationssystem zweier gleicher Massen (M1 = M2 = 1) angenommen, die mit jeweils gleicher Geschwindigkeit um ihren gemeinsamen Schwerpunkt rotieren, der sich auf der Mitte des Abstandes zwischen beiden Massen befindet. Man kann die Massen als Punktmassen annehmen, weil noch nicht Präzession oder Nutation berechnet werden soll, deren Masse jeweils im Zentrum des Körpers versammelt ist.

Rechnet man entsprechend Montenbruck (s. Zitat 2) für elliptische Umlaufbahnen mit einer numerischen Exzentrizität ε = 0,5 und einer Halbachse a2 = 1, dann erhält man

                   e2 = a2*ε = 0,5;     b2    = (a22 – e22)0,5 = 0,86603

                JVKr2  = M*a22*(1 + M2/M1)*(1,5*ε2 + 1) = 2,75

               r2VKr = [JVKr  / (M2*(1 + M2/M1))]0,5 = 1,1726

               TVKrsid  = T = 2*π*(1+M2/M1)*(r2VKr3/(G*M1))0,5 

                        = 15,9565

Zweckmäßig wählt man nun ein genügend kleinen (mit n = 3600)  Zeitschritt

                  Δt  = Tsid/n = 4,4324*10-3

Was gleichbedeutend ist mit

                 ΔS  = S/n = π*b2*(1 – ε2)-0,5 = 7,5575*10-3

Vergleicht man 2*S/(a*b) = E – ε*sin E durch Einsetzen von E, ergibt sich dann im Aphel 

    n                                         1799              1800                1801

    S = Δs*n                             1,3596            1,3603            1,3611

    2*S/(a2*b2)                        3,139847        3,141593         3,143380

    E                                      3,140429        3,141593          3,142756

    E – ε*sin E                        3,139847        3,141593          3,143380

    x2 = a2*cos E – e2              -1,5000          -1,5000            -1,5000

    y2 = a2*sin E*(1-e2)0,5       0,001007         0,000000       -0,0010077

    ν = Arctan (y2/x2)            -0,0006718      0,0000000       0,0006718

    r2 = p2 – e*x2                    1,50000          1,50000          1,50000

    J = r22*ζ                           4,499998        4,500000        4,499998

    Δn                                                       6,717776*10-4

    ω = Δn/Δt                                            0,151562289

    L = J*ω                                               0,682030

Führt man diese Rechnung auch für elliptische Umlaufbahnen mit anderen numerischen Exzentrizitäten aus, wobei die Halbachse b2 = 0,86603 konstant gehalten wird, erhält man eine Kurve für Δν = f(ε) wie in Abbildung 8. Diese Kurve gilt für alle elliptischen Umlaufbahnen.

Abb. 8

Abb. 9

In Abbildung 9 sind die Winkelgeschwindigkeiten im Aphel unter den hier gegebenen Bedingungen in Abhängigkeit von der numerischen Exzentrizität ε (bzw. in Abb. 10 als f(1/rAp2)) aufgezeichnet.

Abb. 10

Für das Rotationssystem Sonne÷Merkur gilt dementsprechend:

    Δt  = 7.6006*106 / 3600 = 2111,28

     ζ  = M2*(M2/M1 + 1) = 3,168*1023*(3,168*1023/1,989*1030+1) 

        = 3,1678*1023

      ε  = 0,2056                        Δν  = 0,001175147

  ωAp  = Δν/Δt = 5,566*10-7      JAp  = ωAp  * ζ  = 1,452*1045

     L  = JAp * ωAp = 8,0821*1038   

Abb. 11  (s.a. Abb. 7)

Möchte man wissen, zu welchem Zeitpunkt nach dem Perihel (t = 0) sich der Merkur am Ort

             n  = 30,63 [°]           entsprechend         ν  = 0,5346

befindet, gilt folgende Rechnung:

            rn  = pMe / (1 + ε*cos ν) = 4,569865*1010  [m]

       cos E  = (xn + eMe) / aMe = (rn*cos ν  + eMe) / aMe = 0,9058

            ζ  = E – ε*sin E = 0,3504

           Sn  =ζ * aMe * bMe = 5,406733*1020  [m]

          Tsid/SMe  = 7,8391*10-16         

                   Tn  = Sn * Tsid/SMe =4,238391*105 [s]

                          4 [d], 21 [h], 43 [min], 59,1 [s]

                    ζ  = 3,1678*1023          

                  Jn  = rn2*ζ = 6,615551*1044  [kg m]

                  wn  = LMe/Jn = 1,221679*10-6  [1/s]

Abb. 12

 

Abb. 13

 

 


            [1|           Kepler.doc

            [2]          O. Montenbruck/T. Pfleger; Astronomie m. d.                             PC; Springer Verlag,  1991, S. 56 ff

            [3]          empirisch ermittelt


 

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Aktualisiert:7.12.2015, Copyright: G. Dinglinger, 41564 Kaarst  Mail: gdinglinger@gmx.de