Günter Dinglinger

Gesetzmässigkeit von Ellipsen

(Günter Dinglinger: geändert 20.11.2007)

 

Zusammenfassung:

Kepler hat seine drei (empirischen) Gesetze über die Bewegung von Satelliten um ihr Zentralgestirn aus ihm zugänglichen Beobachtungen abgeleitet. Spätestens nach Veröffentlichung der Newtonschen Theorien hätten Astronomen oder Physiker die Gesetze Keplers exakter formulieren können. Nur die Tatsache, dass i. a. die Zentralgestirne wesentlich massereicher als ihre Satelliten sind und in  diesen Fällen die Keplersche Näherungsberechnung ausreichend genau ist, hat zur Genügsamkeit der betroffenen Wissenschaft verführt.

In der Folge wird eine genauere Berechnung der Massenbewegung auf elliptischen Umlaufbahnen vorgestellt.

 

Wird ein Kreiszylinder von einer Ebene (nicht parallel zur Zylinderachse) geschnitten (s. Abb. 1), dann entsteht als Schnittlinie ein Kreis oder eine Ellipse.

 

 

 

 

 

 

 

Abb. 1

In der vorstehenden Abbildung sind bei drei verschiedenen Schnittwinkeln a (0, 30 und 60 [°]) ein Kreis und zwei Ellipsen entstanden, deren eine (die kleinere) Halbachse (b) konstant geblieben ist, während die zweite Halbachse (a) gleich oder größer als b ist. Leicht ist zu erkennen, dass bei einem Schnittwinkel von 90 [°] die größere Halbachse a = ∞ wird. Es bilden sich so quasi zwei Parallelen im Abstand von 2b.

Somit ist

 sin α  = y / a ;      cos α  = b / a ;     y  = e ;

mit        b  = (a² – e²) ^0,5 = a * (1 – ε²)^0,5

wird    b/a  = cos α = (1 – ε²)^0,5 

oder       ε  = (1 – cos^2α)^0,5 = sin α

Wie ich an anderer Stelle ausgeführt habe, kann man bei der Berechnung von elliptischen Umlaufbahnen davon ausgehen, dass zwei Massen stets um ihren gemeinsamen Systemschwerpunkt rotieren, der immer einer der Brennpunkte der ähnlichen Umlauf-Ellipsen ist. In Abbildung 2 soll es sich um zwei gleich große Massen handeln, die demzufolge zwei gleiche Umlaufellipsen um einen gemeinsamen Brennpunkt beschreiben,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Abb. 2 

Es ist aber auch erkennbar, dass der extreme Fall, d. h. die beiden Zylinder berühren sich nur noch (a → ∞) bzw. ε = 1, physikalisch nicht auftreten kann, es sei denn, die Körper rotieren in anderer Weise um einander (s. Abb. 3). Hier sind drei Positionen angedeutet:

1.       Der Zylinder wird senkrecht zu seiner Symmetrieachse geschnitten. Dann rotieren zwei gleiche Massen um den Mittelpunkt eines Kreises.

 

Abb. 3

2.       Der Schnittwinkel durch zwei gleiche Zylinder (Z₁ und Z₂) beträgt 45 [°] ≡ sin α = 0,7071 = ε.

3.       Der Schnittwinkel durch zwei gleiche Zylinder (Z₁ und Z₃) beträgt 64,2 [°] ≡ sin α = 0,9 = ε.

Wie schon gesagt, geht bei a → 90 [°] die größere Halbchse  a → ∞ und die Zylinder berühren sich an der Mantelfläche, wobei der gemeinsame Brennpunkt F→₁ direkt (bzw. nahezu) auf der Berührungslinie der beiden Zylinder läge. Diese Situation wird nicht vorkommen, genauso wie die Situation α = 90 [°], denn die Massen würden theoretisch im Perihel zusammenstoßen, bzw. überhaupt nicht um einander rotieren.

Abb.4

Will man die Berechnung der elliptischen Umlaufbahnen zweier Massen nach der klassischen Methode vornehmen, ist man ohne elektronische Rechenmaschine mit sehr mühsamer Rechenarbeit konfrontiert

Nach dem Flächensatz (Kepler) überstreicht die Verbindungslinie Brennpunkt (F) – Masse (P) in gleichen Zeiten gleiche Flächen (S) (siehe Abb.4) 

Danach erhält man folgenden Zusammenhang (1)             

 S  = a*b * (E – ε*sin E) / 2

Diese Gleichung läßt sich nur durch schrittweisen Vergleich von 2*S/(a*b) = (E – ε*sin E) lösen. Dabei wählt man die Schritte n entsprechend klein

  S  = a*b*π        ΔS   = S/n      Δt  = T_VKr/n

Die Umlaufzeit T_VKr errechnet sich aus

            T_VKr  = M₂*4*π²*r_VKr / F_VKr

            F_VKr  = G*M₁*M₂ / D_VKr²

 D_VKr  = r_1VKr + r_2VKr = r_2VKr*M₂/M₁ + r_2VKr 

          = r_2VKr*(M₂/M₁+1)

Die Masse M₂ rotiert in diesem Fall auf einer zweiten elliptischen Bahn, die ihren Brennpunkt ebenfalls im Brennpunkt F hat und die die gleiche numerische Exzentrizität ε wie die erste Ellipse hat. Dabei steht der Index VKr für den Wert eines vergleichbaren Kreises mit dem Radius r_2VKr, wobei T_VKr die für die Masse M₂ gleichwertige Umlaufzeit (Richtstrahl: F÷P) sein soll. Dann ist die Winkelgeschwindigkeit

           ω_VKr  = 2*π/T_VKr                          

und der Drehimpuls das Produkt aus Trägheitsmoment und Winkelgeschwindigkeit

                 L  = J_VKr*ω_VKr.

Bei der Berechnung einer Ellipse kann man also annehmen, dass zwei Massen M₁ und M₂ um einen gemeinsamen Brennpunkt F_e als Schwerpunkt des Rotationssystems rotieren, wobei die mittleren Entfernungen r_VKr der Massen vom Schwerpunkt sich umgekehrt zum Verhältnis der Massen verhalten

r_1VKr  = r_2VKr * M₂/M₁  [m] = a₂ * (1,5*ε²+1)

 

            J_VKr  = M₁*r_1VKr² + M₂*r_2VKr² = (M₁*a₁² + M₂*a₂²) * (1,5*ε²+1)

                     = C * (1,5*ε²+1)  [kg m²]

Für die Praxis ist zunächst nur T_VKr interessant, weil sich daraus die Halbachsen a und b eines Systems zweier rotierender Massen errechnen lassen, wie z. B. Merkur÷Sonne:

             a_M³  = G*M_S*T_sid² / ((M_M/M_S+1)²*4*π²*(1,5*ε²+1)^1,5)

Setzt man die beobachteten Daten (z. B. die siderische Umlaufzeit des Planeten Merkur mit T_sid = 7,6006*10⁶ [s] ≡ 87 [d] 23 [h] 16 ['] 48["]) ein, erhält man

               a_M  = 5,6157*10¹⁰  [m]

 

Berechnet man nun Ellipsen nach der ersten (mühsamen) Methode, erhält man mittlere Trägheitsmomente J_VKr, die nur noch vom Trägheitsmoment des Kreises C (a₁ = a₂) und den entsprechenden numerischen Exzentrizitäten ε abhängen (siehe Abb. 5).

Abb. 5

In Abbildung 5 bedeutet K = (1,5*ε²+ 1)^0,5 und die dort aufgeführten Kurven von unten nach oben:

K^-1,5;  K^0,5;  K;  K^1,5; K²

 T_VKr  = A*K^1,5                         

mit    A   =2*π*(M₂/M₁+1)*(a₂³/(G*M₁))^0,5

 ω_VKr  = B*K^-1,5                

mit                B  =2*π / A

  J_VKr  = C*K²                           

mit                C  = M₁*a₁² + M₂*a₂²

 L  = D*K^0,5                

mit                D  = C*B

Da ein Rotationssystem von Sternen keinerlei äußeren Einflüssen, d. h. Energiezu- oder abfuhr) ausgesetzt ist, kann davon ausgegangen werden, dass das Drehmoment L des Systems konstant bleibt. Also gilt

    r_2VKr  = a₂ * (1,5*ε² + 1)^0,5 = a₂ * K

womit T_VKr, ω_VKr und letztlich L für alle möglichen Rotationssysteme nach den obigen Beziehungen schnell errechnet werden können.

Nun muß allerdings darauf geachtet werden, dass sich in einer Ellipse mit gegebenen ε sowohl ω  als auch J  laufend mit r  ändern. Der Drehimpuls L bleibt dagegen konstant.

 J  = r₁²*M₁ + r₂²*M₂ = r₂²*M₂*(M₂/M₁+1) 

     = r₂²* ζ

Die Berechnung nach dem 2. Gesetz von Kepler zeigt, dass ∑J_n / n = J_VKr , also mit dem Trägheitsmoment des Vergleichskreises übereinstimmt, für die Berechnung des Drehimpulses L ist es aber vorteilhafter, das Trägheitsmoment im Aphel (J_Ap) zu berechnen, weil dort die Winkelgeschwindigkeit (ω_Ap) ein Minimum hat, bzw. sich von Schritt n zu Schritt (n+1) nur sehr wenig ändert.

 r_2Ap  = a₂ + e₂ = a₂*(1+ε) 

         = b₂*(1+ε)/(1-ε²)^0,5

   J_Ap  = b₂²*(1 + ε)²/( 1-ε²)*ζ = b₂²* ζ * u_e

Abb. 6

Inn Abb. 6 wurden die Werte J, ω und L für eine Ellipse mit der Exzentrizität ε = 0,2 über dem Quadrat des jeweiligen Leitstrahls r aufgetragen. Da J = f(r²),  bildet sich die Funktion als Gerade ab.

Abb. 7

In  Abb. 7 sind die gleichen Werte über dem reziproken Quadrat des Leitstrahls aufgetragen. Hier wird ω = f(1/r²) und L = const abgebildet. L = f(1/r²* r²) bleibt selbstverständlich in beiden Abbildungen konstant.

Ganz ähnlich verhalten sich diese Werte für andere numerische Exzentrizitäten.

Ist, wie im Fall von ε = 0,2 der Wert für L und ω = f(1/r²) bekannt, können zu jedem Winkel ν die Positionen des umlaufenden Satelliten unkompliziert berechnet werden

    ε  = 0,2;               L  = 0,8818                         

       ζ  = M₂*(M₂/M₁ + 1)

      ω  = L/J = L/(r²*ζ)         

 r_2Ap  = a₂ + e = a₂*(1 + ε)

 

Zur praktischen Berechnung

wurde ein Rotationssystem zweier gleicher Massen (M₁ = M₂ = 1) angenommen, die mit jeweils gleicher Geschwindigkeit um ihren gemeinsamen Schwerpunkt rotieren, der sich auf der Mitte des Abstandes zwischen beiden Massen befindet. Man kann die Massen als Punktmassen annehmen, weil noch nicht Präzession oder Nutation berechnet werden soll, deren Masse jeweils im Zentrum des Körpers versammelt ist.

Rechnet man entsprechend O. Montenbruck (s. Zitat 2) für elliptische Umlaufbahnen mit einer numerischen Exzentrizität ε = 0,5 und einer Halbachse a₂ = 1, dann erhält man

 e₂  = a₂*ε = 0,5;

b₂    = (a₂² – e₂²)^0,5 = 0,86603

J_VKr  = M₂*a₂²*(1 + M₂/M₁)*(1,5*ε² + 1)

        = 2,75

r_2VKr  = [J_VKr / (M₂*(1 + M₂/M₁))]^0,5

         = 1,1726

T_VKr = T_sid

       = 2*π*(1+M₂/M₁)*(r_2VKr³/(G*M₁))^0,5

       = 15,9565

Zweckmäßig wählt man nun ein genügend kleinen (mit n = 3600)  Zeitschritt

Δt  = T_sid/n = 4,4324*10^-3

Was gleichbedeutend ist mit

ΔS  = S/n = π*b₂*(1 – ε²)^-0,5 = 7,5575*10^-3

Vergleicht man 2*S/(a*b) = E – ε*sin E durch Einsetzen von E, ergibt sich dann im Aphel    

   n                                    1799            1800             1801

S = Δs*n                          1,3596         1,3603          1,3611

2*S/(a₂*b₂)                   3,139847     3,141593       3,143380

    E                                3,140429     3,141593       3,142756

E – ε*sin E                    3,139847     3,141593       3,143380

x₂ = a₂*cos E – e²         -1,5000        -1,5000          -1,5000

y₂ = a₂*sin E*(1-ε²)^0,5   0,001007    0,000000     -0,0010077

 ν = Arctan (y₂/x₂)        -0,0006718    0,0000000    0,0006718

 r₂ = p₂ – ε*x₂                1,50000        1,50000         1,50000

 J = r₂²*ζ                     4,499998         4,500000       4,499998

     Δν                                                 6,717776*10^-4

     ω= Δν/Δt                                       0,151562289

     L = J*ω                                            0,682030

Führt man diese Rechnung auch für elliptische Umlaufbahnen mit anderen numerischen Exzentrizitäten aus, wobei die Halbachse b₂ = 0,86603 konstant gehalten wird, erhält man eine Kurve für Δν = f(ε) wie in Abbildung 8. Diese Kurve gilt für alle elliptischen Umlaufbahnen.

Abb. 8

Abb. 9

In Abbildung 9 sind die Winkelgeschwindigkeiten im Aphel unter den hier gegebenen Bedingungen in Abhängigkeit von der numerischen Exzentrizität ε (bzw. in Abb. 10 als f(1/r_Ap²)) aufgezeichnet.

Abb. 10

Für das Rotationssystem Sonne÷Merkur gilt dementsprechend:

 Δt  = 7.6006*106 / 3600 = 2111,28

 ζ  = M₂*(M₂/M₁ + 1) 

= 3,168*10²³*(3,168*10²³/1,989*10³⁰+1)

= 3,1678*10²³

 ε  = 0,2056 ;            Δν   =0,001175147

 ω_Ap  = Δν/Δt = 5,566*10^-7                

 J_Ap   = ω_Ap  *  ζ  = 1,452*10⁴⁵

     L  = J_Ap * ω_Ap = 8,0821*10³⁸           

Abb. 11  (s.a. Abb. 7)

Möchte man wissen, zu welchem Zeitpunkt nach dem Perihel (t = 0) sich der Merkur am Ort

         ν  = 30,63 [°]               entsprechend               ν  = 0,5346

befindet, gilt folgende Rechnung:

        rν  = p_Me / (1 + ε*cos ν) = 4,569865*10¹⁰  [m]

   cos E  = (xν + e_Me) / a_Me = (rν*cos ν  + e_Me) / a_Me = 0,9058

        z  = E – ε*sin E = 0,3504

       Sν  = z * a_Me* b_Me /2 = 5,406733*10²⁰  [m²]

      T_sid/S_Me  = 7,8391*10^-16          Tν  = Sν * T_sid/S_Me =4,238391*10⁵ [s]

                                                     ≡ 4 [d], 21 [h], 43 [min], 59,1 [s]

        ζ  = 3,1678*10²³                  Jν  = rν²*ζ = 6,615551*10⁴⁴  [kg m²]

      ων  = L_Me/Jν = 1,221679*10^-6  [1/s]

Abb. 12

 

Abb. 13

 

  (1) O. Montenbruck/T. Pfleger; Astronomie m. d. PC;

         Springer Verlag, 1991, S. 56 ff.

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